数学基本概念：映射，函数

映射

映射其实是个很直观的概念，如：阳光下人在地面上的投影、摄影、三角形的外接圆、y = x²、y' = (d/dx)y 等等。

数学上看，映射由三部分组成：原像空间（集合）X、像空间（集合）Y、规则f。表示为：

f:X→Y

其意义是X中的任一元素x（或称原像）在Y中有唯一的一个元素y（或称像）按规则f与之对应。这里有两个重点，1）“X中的任一元素x”，这意味着X中任一元素都适合规则f，即X就是规则f的定义域（记为Df，显然 Df = X）；2）“Y中有唯一的一个元素按规则f与之对应”，这意味着与原像x对应的像是唯一的，即所谓的单值性。

虽然规则f的定义域就是原像空间X，但其通过规则f映射到像空间Y中的所有元素组成的集合（称值域，记为Rf）未必就是像空间Y本身，一般为Y的子集（即Rf⊆Y）。此外，不同的原像x还可以通过规则f映射到同一个像y上，即按规则f对应于像y的原像不要求唯一。

如果对应于像y的原像x唯一（即若原像x1和x2的像是同一个y，则x1 = x2），此映射则被称为单射。如果映射的值域Rf等于像空间Y（即Rf = Y），则此映射被称为满射。若两个都成立（即既是单射又是满射），则此映射称为双射（或一一对应）。

对于单射，由于值域Rf（Rf⊆Y）中的每个像y在原像空间X中都存在唯一的原像x与之对应，显然可构造一个映射，记为：

f⁻¹:Rf→X

此映射被称为映射f:X→Y的逆映射。显然，此逆映射的定义域是Rf，值域是X（即满射）。此外，由原映射的像唯一性可知其逆映射必然是个单射，故f⁻¹:Rf→X是个双射。

单射是逆映射存在的充要条件。

如果存在两个映射

f:X→Y

g:Y→Z

并且满足Rf⊆Y（或Rf⊆Dg），则可构造一个映射g•f，表示为

g•f:X→Z

其意义是X中任一元素x先根据规则f映射到Y中的元素y，然后再根据规则g（由Rf⊆Dg确保y∈Dg）将y映射到Z中的元素z。映射g•f:X→Z被称为映射f:X→Y和g:Y→Z的复合映射。

函数

y = f(x) = sin(x)

z = g(y) = √y

显然，这是个复合函数（√sin(x)）。由于Dg = {y|y≥0}，所以必须有Rf = Dg ∩ {y|-1≤y≤1} = {y|0≤y≤1}。由此可知复合函数z = g•f(x) = √sin(x)的定义域为Dgf ={x|2kπ≤x≤(2k + 1)π,k∈N} = X。可将其表示为

g•f:X→R

其中R为实数域，而g•f的值域是Rgf = {z|0≤z≤1}⊂R。

三，函数

y = f(x) = x² (x≥0)

这个函数可表示为

f:X→R

其中X = Df = {x|x≥0}，而且Rf = {y|y≥0}⊂R。一般而言，有x = ±√y，但因为有x≥0的定义域限制显然此映射是个单射，所以存在逆映射

f⁻¹:Rf→X

即存在反函数

x = √y

其实从映射的角度看来函数并不是个什么新玩意儿，其仅是个实数域上的映射而已。可表示成

f:X→R

其中X⊂R。

由于函数是实数域上的映射，实数域的特殊性质将反映到相应的映射中去，如实数的线性有序性、连续性和四则运算。函数映射所具备的特殊性质有：

1）函数的有界性

由于实数域具有线性有序性，函数值就可以比较大小。如果某函数其值小于常数M或大于常数m，则称此函数有上界M或下界m。

2）函数的单调性

如果对任意x1〉x2存在关系f(x1)≥f(x2)（或f(x1)≤f(x2)）,则称函数f(x)单调增加（或单调减小）。若等号不成立，则为严格单调增加（或严格单调减小）。

3）函数的奇偶性

如果存在关系f(x) = f(-x)，则此函数为偶对称；而如果存在关系f(x) = -f(-x)，则此函数为奇对称。

4）函数的周期性

如果存在实常数T使f(x) = f(x + T)，则称函数f(x)为周期函数。

由于严格单调函数必为单射（存在逆映射），所以严格单调函数必存在相应的反函数。需注意的是，严格单调是反函数存在的充分条件，但并不必要。

函数中与复合映射概念类似的是复合函数。复合映射中的所有特性在复合函数中都存在。

下面给出三个基本初等函数，由此通过反函数与复合函数以及有限次四则运算可得到所有的初等函数。

1）幂函数

y = x^μ

其中μ是实常数。当μ=0时y = 1，这是个常数函数。

2）指数函数

y = e^x

由于指数函数具有严格单调性，所以其存在反函数，表为

y = ln(x)

由此，一般的指数函数可表示成

y = a^x = e^(ln(a)x)

其中a是大于零的实数。

3）三角函数

y = sin(x)

这里只需给出正弦函数，其他各三角函数都可以通过正弦函数有限次复合和四则运算得到。由于三角函数是个周期函数，显然不是单射，故一般意义下不存在反函数。如果将三角函数的定义域Df（即X）限制在一个特定的周期内，就可以得到相应的严格单调函数，由此则可定义特定周期内三角函数的反函数，而此特定周期被称为相应反三角函数的主值范围。

对于初等函数，虽然没有象映射那样特别给出其自变量的取值范围X（及定义域Df），但每个初等函数都有其自身所要求的自变量取值范围以保证函数在实数域内有意义，而此范围被称为初等函数的自然定义域。

高等数学：映射

初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种，下面主要介绍映射、函数以及有关概念，函数的性质与运算等。

映射

定义： 设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则(对应关系)f，是的对X中的每个元素x, 按照对应法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从X到Y的映射。 记作：f: X->Y

其中y称为元素x在映射f下的像 ，并记作f(x), 即y=f(x), 而元素x称为y在映射f下的一个原像 ，集合X称为映射f的定义域 ，记作Df, 即Df = X, Y中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域 ，记作Rf, 或f(X), 即 Rf = f(x)=|f(x)∣x ∈ X|

需要注意的是：

（1）构成一个映射必须具备三个要素：1 集合X，即定义域Df= X; 2 集合Y，即值域的范围: Rf⊂Y；3 对应法则f， 使对每个x ∈ X，有唯一确定的y=f(x)与之对应。

（2）对每个x ∈ X，元素x的像y是唯一的；而对每个y ∈ Rf, 元素y的原像不一定是唯一的；映射f的值域Rf是Y的一个子集，即Rf⊂Y， 不一定Rf = Y。

映射又称为算子 。根据集合X, Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称，例如，从非空集合X到数集的映射又称为X 上的泛函 ，从非空集合X到他们自身的映射又称为X上的变换 ，从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数 。

设f是X到Y的单射，则由定义，对每个y∈Rf, 有唯一的x∈X，适合f(x)=y, 于是，我们可以定义一个从Rf到X的新映射g， 即 g: Rf -> X, 对每个y∈Rf, 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y, 这个映射g称为f的逆映射 ， 记作f^(-1)， 其定义域D f^(-1)=Rf, 值域Rf^(-1)=X。

按上述定义，只有单射才存在逆映射。

设有两个映射 g:X->Y1, f:Y2->Z, 其中Y1⊂Y2, 则有映射g和f可以定义出一个从X到Z的对应法则，他将每个x ∈ X映射成f[g(x)] ∈Z, 显然，这个对应法则则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射 ，记作f○g, 即: f○g: X->Z, (f○g)(x)=f[g(x)], x ∈X。

由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R(g)必须包含在f的定义域内， 即R(g) ⊂D(f), 否则，不能构成复合映射，由此可知，映射g和f的复合是有顺序的，f○g有意义并不表示g○f也有意义，即使两个都有意义，也未必相同。

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